Question

已知双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同，且它们的离心率之和等于

14

5

．
（1）求双曲线的离心率的值；
（2）求双曲线的标准方程．

Answer 1

（1）在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1中，
a²=25，b²=9，c²=16，
离心率e=

4

5

，
∵双曲线与椭圆的离心率之和等于

14

5

，
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），
双曲线的离心率e′=

14

5

-

4

5

=2．
（2）∵椭圆焦点在x轴上，
∴其焦点坐标为（±4，0），
∵双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同，
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），
由题意设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)，
由（1）知，c=4，e′=2，
∴e′=

4

m

=2，
解得m=2，∴n²=16-4=12，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．