Question

（2012•天津模拟）已知曲线C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C₁，C₂上，k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率，当k₂=4k₁时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知曲线C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为

3

2

，可确定相应几何量，从而可得曲线C₁和曲线C₂的方程；
（Ⅱ）将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点．

解答：解：（Ⅰ）由已知曲线C₁和曲线C₂都过点A（0，-1），得b²=1，r²=1．                        …（2分）
∵曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为

3

2

．
∴a²=4，
∴曲线C₁的方程为

x2

4

+y2=1（x≥0）．                          …（3分）
曲线C₂的方程为x²+y²=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）将y=k₁x-1代入

x2

4

+y2=1，得(1+4

k

2 1

)x2-8k1x=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，x2=

8k1

4 k 2 1 +1

，y2=k1x2-1=

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

．
所以B(

8k1

4 k 2 1 +1

，

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

)．                                         …（7分）
将y=k₂x-1代入x²+y²=1，得(1+

k

2 2

)x2-2k2x=0．
设C（x₃，y₃），则x3=

2k2

k 2 2 +1

，y3=k2x3-1=

k 2 2 -1

k 2 2 +1

，
所以C(

2k1

k 2 2 +1

，

k 2 2 -1

k 2 2 +1

)．                                           …（9分）
因为k₂=4k₁，所以C(

8k1

16 k 2 1 +1

，

16 k 2 1 -1

16 k 2 1 +1

)
则直线BC的斜率kBC=

16 k 2 1 -1 16 k 2 1 +1 - 4 k 2 1 -1 4 k 2 1 +1

8k1 16 k 2 1 +1 - 8k1 4 k 2 1 +1

=-

1

4k1

，…（11分）
所以直线BC的方程为：y-

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

=-

1

4k1

(x-

8k1

4 k 2 1 +1

)，即y=-

1

4k1

x+1．…（12分）
故BC过定点（0，1）．                                              …（13分）

点评：本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程．