Question

已知函数f（x）=x（e^x-1）-ax²．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1时有极值，求a的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）法一：令g（x）=x^a-1-ax，则g'（x）=e^x-a．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）法二：当x≥0时，x（e^x-1）≥ax²．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由f'（-1）=0得，a=

1

2

…2分
当

AC

=

BD

时，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1）
当x∈（-∞，-1）时f'（x）＞0；
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）单调增加，在（-1，0）单调减少，
则f（x）在x=-1时有极小值，所以a=

1

2

，
函数f（x）的单调递减区间为（-1，0）．…6分
（Ⅱ）解法一：f（x）=x（x^a-1-ax）．
令g（x）=x^a-1-ax，则g'（x）=e^x-a．
若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为减函数，
而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．…9分
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时g（x）＜0，即f（x）＜0．…11分
综合得a的取值范围为（-∞，1]…12分
（Ⅱ）解法二：当x≥0时，f（x）≥0，即x（e^x-1）≥ax²．
①当x=0时，a∈R；                                  …7分
②当x＞0时，x（e^x-1）≥ax²等价于e^x-1≥ax，也即a≤

ex-1

x

．
记g(x)=

ex-1

x

，x∈（0，+∞），
则g′(x)=

(x-1)ex+1

x

．…8分
记h（x）=（x-1）e^x+1，x∈（0，+∞），
则h′（x）=xe^x＞0，因此h（x）=（x-1）e^x+1在（0，+∞）上单调递增，
且h（x）＞h（0）=0，所以g′(x)=

h(x)

x

＞0，
从而g(x)=

ex-1

x

在（0，+∞）上单调递增．…9分
由洛必达法则有

lim

x→0

g(x)=

lim

x→0

ex-1

x

=

lim

x→0

ex

1

=1，
即当x→0时，g（x）→1
所以g（x）＞1，即有a≤1．…11分
综上①、②所述，a的取值范围为（-∞，1]…12分．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．