Question

已知方程|xe^x|=t有三个不相等的实数解，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：方程|xe^x|=t有三个不相等的实数解，即y=t与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，利用导数法分析f（x）=xe^x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，数形结合可得答案．

解答： 解：令f（x）=xe^x，则f′（x）=（1+x）e^x，
当x＜-1时，f′（x）＜0，当x＞-1时，f′（x）＞0，
故f（x）=xe^x在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，+∞）上是减函数，
f（-1）=-

1

e

，
又由x＜0时，f（x）＜0，当x＞0时，f（x）＞0，
故函数y=|xe^x|的图象如下图所示：

故当t∈（0，

1

e

）时，y=t与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，
即方程|xe^x|=t有三个不相等的实数解，
故t的取值范围是（0，

1

e

），
故答案为：（0，

1

e

）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数，其中结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，是解答的关键．