Question

已知函数 f（x）=e^x+ax²+bx．
（1）若a=0且f（x）在x=-1处取得极值，求实数b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点P（m，f（m））（0＜m＜1）处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q．若点Q的纵坐标恒小于l，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=e^x+2ax+b，利用导数性质能求出实数b．
（2）由f′（x）=e^x+2ax+b，利用分类讨论思想、导数性质，结合已知条件能求出实数a的取值范围是．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x+2ax+b，
a=0时，f′（x）=e^x+b，
依题意x=-1是f′（x）=0，即e^x+b=0的根，
∴b=-

1

e

．
（2）∵f′（x）=e^x+2ax+b，
∴点P（m，f（m））处的切线斜率f′（m）=e^m+2am+b，
令x=0，得y=-m（e^m+2am+b）+（e^m+am²+bm），
∴y=（1-m）e^m-am²，（0＜m＜1），
即y=（1-m）e^m-am²，0＜m＜1，
当0＜m＜1时，要使得点Q的纵坐标小于1，只需（1-m）e^m-am²＜1，
∴（m-1）e^m+am²+1＞0，0＜m＜1，
g′（m）=m（e^m-2a），
∵0＜m＜1，∴1＜e^m＜e．
①若2a≥-1，即a≥-

1

2

时，e^m+2a＞0，
∴当m∈（0，1）时，g′（x）＞0，即g（m）在（0，1）上单调递增，
g（m）＞g（0）=0恒成立，∴a≥-

1

2

满足题意．
②若-e＜2a＜-1，即-

e

2

＜a＜-

1

2

时，0＜ln（-2a）＜1，
列表如下：

m	（0，ln（-2a））	ln（-2n）	（ln（-2a），1）
g′（m）	-	0	+
g（m）	递减	最小值	递增

∴g（ln（-2a））＜g（0）=0，-

e

2

＜a＜-

1

2

，不满足题意．
③若2a≤-e，即a≤-

e

2

时，-e^m+2a＜0，
∴当m∈（0，1）时，g′（m）＜0，即g（m）在（0，1）上单调递减，
g（m）＜g（0）=0，∴a≤-

e

2

不满足题意，
综上所述，当a≥-

1

2

时，满足题意，即实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．