Question

已知函数f（x）=2sin²x+sin2x
（1）若x∈[0，

π

2

]，求使f（x）为正值的x的集合；
（2）若关于x的方程[f（x）]²+f（x）+a=0在[0，

π

4

]内有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数的零点与方程根的关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简函数的解析式为f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），根据 x∈[0，

π

2

]，求得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．令0＜2x-

π

4

≤

3π

4

，求得x的集合．
（2）令t=f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），由x∈[0，

π

4

]时，求得t∈[0，2]，方程[f（x）]²+f（x）+a=0，即a=-t²-t=-(t+

1

2

)2+

1

4

，利用二次函数的性质求得a的范围

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin²x+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．
令0＜2x-

π

4

≤

3π

4

，求得 

π

8

＜x≤

π

2

，即使f（x）为正值的x的集合为{x|

π

8

＜x≤

π

2

}．
（2）令t=f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），在x∈[0，

π

4

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

4

，t∈[0，2]，
∴方程[f（x）]²+f（x）+a=0，即 a=-t²-t=-(t+

1

2

)2+

1

4

∈[-6，0]．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．