Question

已知函数f（x）=x³-bx²
（I）当b=3时，函数在（t，t+3）上既存在极大值，又有在极小值，求t的取值范围．
（II）若g(x)=

f(x)

x

+1对于任意的x∈[2，+∞）恒有g（x）≥0成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）根据条件写出函数和导函数，得f（x）在x=0时取得极大值，在x=2时取得极小值，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，写出关于t的不等式，解出结果．
（II）写出要用的函数式，根据条件中的恒成立问题，得到x²-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函数的单调性，根据最值之间的关系写出结果．

解答： 解：（I）b=3时，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x．
由f'（x）=0得x₁=0，x₂=2…（1分）
当-∞＜x＜0或x＞2时f'（x）＞0；0＜x＜2时f'（x）＜0
故得f（x）在x=0时取得极大值，在x=2时取得极小值，函数在（t，t+3）上既能取到最大值又能取得最小值只须t＜0且t+3＞2，即-1＜t＜0．
∴t取值范围为（-1，0）；
（II）

f(x)

x

+1≥0对于任意的x∈[2，+∞）上恒成立
即x²-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）上恒成立，
可得b≤x+

1

x

在x∈[2，+∞）上恒成立                 …（7分）
g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
∴x∈[2，+∞），g'（x）＞0，
∴g（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴x=2时，g（x）有最小值g(2)=

5

2

∴b取值值围为(-∞，

5

2

]…（12分）

点评：本题看出函数的极值的应用和函数的恒成立问题，解题的关键是对于恒成立问题的理解，用函数的最值思想解决恒成立问题是常见的一种形式．