Question

已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点（4，0），其中双曲线的一条渐近线方程为y=

3

x，求三条曲线的标准方程．

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用焦点（4，0），其中双曲线的一条渐近线方程为y=

3

x，可得双曲线方程，利用椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为

1

2

，即可求出椭圆、抛物线的方程．

解答： 解：因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0．b＞0）
又因为它的一条渐近线方程为y=

3

x，所以

b

a

=

3

，
所以e=

1+3

=2，
因为c=4，所以a=2，b=

3

a=2

3

，（4分）
所以双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1=1．（6分）
因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为

1

2

，（10分）
设椭圆方程为

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0），则c=4，a₁=8，b₁²=8²-4²=48．
所以椭圆的方程为

x2

64

+

y2

48

=1，易知抛物线的方程为y²=16x．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．