Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（0，0）和（1，0），又f′（

1

2

）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的极大值．
（2）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c，且f′（0）=f′（1）=0，由此利用导当选性质能求出f（x）的解析式及f（x）的极大值．
（2）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
由已知f′（0）=f′（1）=0，
∴

c=0 3a+2b+c=0

，解得c=0，b=-

3

2

a，
∴f′（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

-

3a

2

=

3

2

，解得a=-2，∴b=3，
∴f（x）=-2x³+3x²．
由导函数y=f′（x）的简图知x=1时，f（x）取极大值f（1）=1．
（2）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，0≤x≤

1

2

，或x≥1，
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤

1

2

．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．