Question

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

）
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答： 解：

AC

=(cosα-3， sinα)，

BC

=(cosα，  sinα-3)．
（1）∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-3)2

．
化简得：sinα=cosα，∴cosα=1．
又α∈(

π

2

，

3π

2

)，
故α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，
∴（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
化简得：sinα+cosα=

2

3

，
两边平方得：2sinαcosα=-

5

9

＜0，
∴α∈(

π

2

，π)，
故sinα-cosα＞0，
而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

14

9

，
∴sinα-cosα=

14

3

，

2sin2α+sin2α 1-tanα = 2sinα(sinα+cosα) 1- sinα cosα = 2sinαcosα(sinα+cosα) cosα-sinα = - 5 9 × 2 3 - 14 3 = 5 14 63

点评：本题考查了向量的运算性质、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．