Question

设函数f（x）=

a

2

x²-1+cosx（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求正数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=1时，f（x）=

1

2

x²-1+cosx，先求出f′（x）=x-sinx，令g（x）=x-sinx，得g（x）为增函数，从而f（x）在（0，+∞）递增，又f（x）为偶函数，
得出f（x）在（-∞，0）递减，从而求出函数的最值．
（2）由题意得：f′（x）=ax-sinx≥0在（0，+∞）上恒成立，分别讨论a≥1时，0＜a＜1时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

1

2

x²-1+cosx，f′（x）=x-sinx，
令g（x）=x-sinx，则g′（x）=1-cosx≥0恒成立，
∴g（x）为增函数，
故x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
又f（x）为偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）递减，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最小值为f（0）=0，
最大值为f（-

π

2

）=f（

π

2

）=

π2

8

-1，
（2）由题意得：f′（x）=ax-sinx≥0在（0，+∞）上恒成立，
a≥1时，对?x∈（0，+∞），恒有ax≥x＞sinx，
此时f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，满足题意，
0＜a＜1时，令h（x）=ax-sinx，
∴h′（x）=a-cosx，
由h′（x）=0，解得：a=cosx，
∴一定存在x₀∈（0，

π

2

）使得a=cosx，
且当x∈（0，x₀）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，x₀）递减，
此时h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0
∴f（x）在（0，x₀）递减，
这与f（x）在（0，+∞）递增矛盾，
综上，a≥1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．