Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=6x+3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=6x+c有三个不相等的实数根，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-2ax+6，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的值．
（Ⅱ）方程f（x）=6x+c有三个不相等的实数根，等价于x³-3x=c有三个不相等的实数根，令g（x）=x³-3x，由g'（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1，由此利用导数性质能求出实数c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+3x，
∴f′（x）=3x²-2ax+6，…（1分）
由题意得：f′（1）=6-2a=6…（3分）
解得：a=0．…（4分）
（Ⅱ）方程f（x）=6x+c有三个不相等的实数根，
等价于x³-3x=c有三个不相等的实数根，…（5分）
令g（x）=x³-3x，由g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0…（6分）
解得：x₁=-1，x₂=1…（7分）
当x＜-1时，g'（x）＞0；
当-1＜x＜1时，g'（x）＜0；
当x＞1时，g'（x）＞0．
∴g（x）在（-∞，-1]单调递增，在（-1，1]单调递减，在（1，+∞）单调递增…（9分）
又g（-1）=2，g（1）=-2…（10分）
∴-2＜c＜2…（12分）

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．