Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-4y-13=0，C₂：x²+y²-2ax-6y+a²+1=0（其中a＞0）相外切，且直线l：（m+1）x+y-7x-7=0与C₂相切．求：
（1）圆C₂的标准方程；
（2）求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）圆C₁与圆C₂相外切，得到a的关系式，由此解得a的值．即可得到圆C₂的标准方程．
（2）利用直线l与圆C₂相切，点到直线的距离等于半径，两边平方，解方程求得m的值．

解答： 解：（1）由已知，C₁（1，2），圆C₁的半径r1=3

2

；C₂（a，3），圆C₂的半径r2=2

2

．
因为 圆C₁与圆C₂相外切，所以 

(a-1)2+1

=5

2

．
整理，得（a-1）²=49．又因为 a＞0，所以 a=8．
圆C₂的标准方程：（x-8）²+（y-3）²=8
（2）因为直线l与圆C₂相切，所以

|8(m+1)+3-7m-7|

(m+1)2+1

=2

2

，
，整理得7m²+8m=0，
所以m=0，或-

8

7

．

点评：本题主要考查两圆的位置关系的判定方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．