Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点P（1，-2）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=-1，得到切线方程．
（2）求出导函数，讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（3）分a≥1、0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a＜1三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．

解答： 解：（1）当a=2时，f′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0
（2）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）．f′（x）=

1-ax

x

因为a＞0，令f′（x）=0，可得x=

1

a

；
当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，

1

a

），单调递减区间为（

1

a

，+∞）．
（3）①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（
②当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．
③当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在（1，

1

a

）上是增函数，在（

1

a

，2）上是减函数．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当

1

2

＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．
综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

点评：本题给出含有对数的函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最小值，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上最值求法等知识，属于难题．