Question

设函数f（x）=lnx+

a

x-1

在（0，

1

e

）内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，记S=m-n，求S的取值范围．（注：e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于函数f（x）在（0，

1

e

）内有极值．可知：f′（x）=0在(0，  

1

e

)内有解，利用二次函数的性质、函数的零点存在定理即可得出；
（2）由f′（x）＞0得0＜x＜α或x＞β，由f′（x）＜0得α＜x＜1或1＜x＜β．进而得出f（x）的单调性．
由m=f（α），n=f（β），α+β=a+2，α•β=1，可得S=m-n=f(α)-f(β)=lnα+

a

α-1

-lnβ-

a

β-1

=-2lnβ-γ+

1

β

．记h（β）=-2lnβ-γ+

1

β

．利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：f（x）的定义域为{x|0＜x＜1，或x＞1}．
（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

，
∵函数f（x）在（0，

1

e

）内有极值．
∴f′（x）=0在(0，  

1

e

)内有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β），
不妨设0＜α＜

1

e

，则β=

1

α

＞e
∴g(0)=1＞0，  g(

1

e

)=

1

e2

-

a+2

e

+1＜0，
解得：a＞e+

1

e

-2．
（2）由f′（x）＞0得0＜x＜α或x＞β，
由f′（x）＜0得α＜x＜1或1＜x＜β．
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）内递增．
∴m=f（α），n=f（β）．
∵α+β=a+2，α•β=1，
∴S=m-n=f(α)-f(β)=lnα+

a

α-1

-lnβ-

a

β-1

=-2lnβ-a•

1 β -β

2-(α+β)

=-2lnβ-β+

1

β

．
记h(β)=-2lnβ-β+

1

β

，  h′(β)=-

1

β

-1-

1

β2

＜0，
∴h（β）在（0，+∞）单调递减，
∴h(β)＜h(e)=-2-e+

1

e

，
又当β→+∞时，h（β）→-∞，
∴S∈(-∞，  -2-e+

1

e

)

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．