Question

函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点．
（3）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3a，且

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，由此能求出a，b．
（2）由f′（x）=3（x²-a）（a≠0），利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调区间与极值点．
（3）分别求出函数的极大值和极小值，由此能求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax+b（a≠0），
∴f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
此时函数f（x）没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x=±

a

，
当x∈（-∞，-

a

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（-

a

，

a

）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
此时x=-

a

是f（x）的极大值点，x=

a

是f（x）的极小值点．
（3）由（2）知，当a＞0时，
f(x)极大值=f(-

a

)=-a

a

+3a

a

+b=2a

a

+b，
f（x）_极小值=f（

a

）=a

a

-3a

a

+b=-2a

a

+b．
∴实数b的取值范围是（-∞，-2a

a

+b）∪[2a

a

+b，+∞）．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．