Question

动圆与直线x=-2相切，且过椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的右焦点F．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点F且斜率为1的直线l交圆心C的轨迹于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的右焦点F（2，0），设动圆圆心P（x，y），由已知得（x+2）²=（x-2）²+y²，由此能求出动圆圆心C的轨迹方程．
（2）过点F（2，0）且斜率为1的直线l的方程为：y=x-2，联立

y=x-2 y2=8x

，得x²-12x+4=0，由此能求出|AB|．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的右焦点F（2，0），
设动圆圆心P（x，y），
∵动圆与直线x=-2相切，
∴r²=（x+2）²=（x-2）²+y²，
∴y²=8x，
∴动圆圆心C的轨迹方程为y²=8x．
（2）过点F（2，0）且斜率为1的直线l的方程为：y=x-2，
联立

y=x-2 y2=8x

，得x²-12x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+1)(144-16)

=16．

点评：本题考查动圆圆心C的轨迹方程的求法，考查弦长|AB|的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．