Question

如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD=BC，E是AB延长线上一点，且BE×DC=AD×BC．
（Ⅰ）证明：AB∥CD；
（Ⅱ）求∠OCE的度数．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：立体几何

分析：（I）由AD=BC，可得∴∠ACD=∠BAC，进而根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD；
（Ⅱ）根据圆内接四边形性质，可得∠ADC=∠EBC，由BE×DC=AD×BC得：

BE

AD

=

BC

DC

，进而可得△EBC∽△ADC，则∠BAC=∠ECB，延长CO交⊙O于F，连接BF，由∠FBC=90°，可得：∠OCE=∠ECB+∠BCF=∠BFC+∠BCF=90°．

解答： 证明：（I）∵A，B，C，D四点共圆，且AD=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB∥CD；

解：（Ⅱ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC=∠EBC，
∵BE×DC=AD×BC，即

BE

AD

=

BC

DC

，
∴△EBC∽△ADC，
∴∠BAC=∠ECB，
延长CO交⊙O于F，连接BF，
则∠FBC=90°，
∴∠BFC=∠BAC=∠ECB，
∴∠OCE=∠ECB+∠BCF=∠BFC+∠BCF=90°．

点评：本题考查的知识点是也圆相关的比例线段，圆心角定理，圆周角定理，圆内接四边形性质，相似三角形的判断与性质，难度不大，属于基础题．