Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）求（b₁-a₁）+（b₂+a₂）+（b₃-a₃）+…+[b_n+（-1）ⁿa_n]．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由于T_n=（b₁-a₁）+（b₂+a₂）+（b₃-a₃）+…+[b_n+（-1）ⁿa_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₂+a₄+…），对n分奇数、偶数讨论，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列，
∴2a₂=b₁+b₂，

b

2 2

=a2•(a3+2)，
∴2（1+d）=2+2q，（2q）²=（1+d）（1+2d+2），
解得d=q=3或-

1

2

．
∵b_n＞0（n∈N^*），∴q＞0
∴d=q=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，b_n=2×3^n-1．
（2）T_n=（b₁-a₁）+（b₂+a₂）+（b₃-a₃）+…+[b_n+（-1）ⁿa_n
=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₂+a₄+…）
=

2×(3n-1)

3-1

-

n(3n-2+1)

2

+2（a₂+a₄+…）
=3ⁿ-1-

3n2-n

2

+2（a₂+a₄+…）．
当n=2k（k∈N^*）时，2（a₂+a₄+…）=2（a₂+a₄+…+a_2k）=2×

k(4+6k-2)

2

=

n

2

(2+3n)=n+

3n2

2

．
∴Tn=3n-1-

3n2-n

2

+n+

3n2

2

=3ⁿ-1+n．
当n=2k-1（k∈N^*）时，2（a₂+a₄+…）=2（a₂+a₄+…+a_2k-2）
=2×

(k-1)(4+3k-5)

2

=(

n+1

2

-1)(

3(n+1)

2

-1)=

3n2-2n-1

4

．
∴Tn=3n-1-

3n2-n

2

+

3n2-2n-1

4

=3n-1-

3n2+1

4

．
综上可得：当n=2k（k∈N^*）时，T_n=3ⁿ-1+n．
当n=2k-1（k∈N^*）时，T_n=3n-1-

3n2+1

4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．