Question

已知函数y=ax²+2x+3
（1）求在区间[0，2]上的最大值g（a）
（2）求g（a）的值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）讨论a=0，a＞0，a＜0再分①当0＜-

1

a

＜2即-

1

2

＜a＜0时，②当-

1

a

≥2即a≤-

1

2

时，判断单调区间，求出最大值；
（2）分别求出a≥0时，-

1

2

＜a＜0时，a≤-

1

2

，函数的值域，再求并集即可．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=2x+3，区间[0，2]是增区间，则最大值g（a）=f（2）=7；
当a＞0，对称轴x=-

1

a

＜0，[0，2]为增区间，则最大值为g（a）=f（2）=4a+7，
当a＜0时，对称轴x=-

1

a

＞0，
①当0＜-

1

a

＜2即-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=f（-

1

a

）=3-

1

a

，
②当-

1

a

≥2即a≤-

1

2

时，[0，2]为增区间，则g（a）=f（2）=4a+7．
∴g（a）=

4a+7，a≥0或- 1 2 ＜a＜0 3- 1 a ，a≤- 1 2

；
（2）当a≥0时，g（a）≥7；
当-

1

2

＜a＜0时，5＜g（a）＜7；
当a≤-

1

2

，3＜g（a）≤5．
故函数g（a）的值域为（3，+∞）．

点评：本题考查二次函数的值域和最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．