Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，P为椭圆的上顶点，且△PF₁F₂的面积为

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 6 3 bc= 2

，又a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设l的方程为xcosα+ysinα+

3

2

=0，则y=-

xcosα+ 3 2

sinα

，代入

x2

3

+y2=1，得（1+2cos²α）x²+3

3

xcosα+3cos²α-

3

4

=0，由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形AOB面积的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，
P为椭圆的上顶点，且△PF₁F₂的面积为

2

．
∴

c a = 6 3 bc= 2

，又a²=b²+c²，
解得a=

3

，b=1，
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1．
（2）∵直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，
∴设l的方程为xcosα+ysinα+

3

2

=0，
∴y=-

xcosα+ 3 2

sinα

，
代入

x2

3

+y2=1，得x²sin²α+3[x²cos²α+

3

xcosα+

3

4

]=3sin²α，
整理得（1+2cos²α）x²+3

3

xcosα+3cos²α-

3

4

=0，
△=27cos²α-（1+2cos²α）（12cos²α-3）
=-24cos⁴α+21cos²α+3，
|AB|=

(-24cos4α+21cos2α+3)(1+cot2α)

1+2cos2α

，设u=cos²α，则0≤u≤1，
AB²=

-24u2+21u+3

(1-u)(1+2u)2

=

3(1+8u)

(1+2u)2

，设v=2u+

1

4

，则v的值域是[

1

4

，

9

4

]，
AB²=

12v

( 3 4 +v)2

=

12

9 16v +v+ 3 2

≤

12

3 2 + 3 2

=4，
当v=

3

4

时取等号，
∴|AB|的最大值为2，
∴三角形AOB面积的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真这题，注意函数与方程思想的合理运用．