Question

已知定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-π，

2

3

π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（2）求方程f（x）=

2

2

的解．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先求出函数在[-

π

6

，

2π

3

]上的解析式，然后设-π≤x＜-

π

6

，求出-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，结合函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称求得答案；
（2）由-

π

6

≤x≤

2π

3

得到

π

6

≤x+

π

3

≤π，再由f（x）=sin(x+

π

3

)=

2

2

求得x的值．-π≤x＜-

π

6

直接带入函数解析式求得x的值．

解答： 解：（1）当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，A=1，

T

4

=

2π

3

-

π

6

，T=2π，ω=1．
且f（x）=sin（x+φ）过点(

2π

3

，0)，
则

2π

3

+φ=π，φ=

π

3

．
f（x）=sin(x+

π

3

)．
当-π≤x＜-

π

6

时，-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，
f(-x-

π

3

)=sin（-x-

π

3

+

π

3

），
而函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，
则f（x）=f(-x-

π

3

)，
即f（x）=sin（-x-

π

3

+

π

3

）=-sinx，-π≤x＜-

π

6

．
∴f（x）=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

；
（2）当-

π

6

≤x≤

2π

3

时，

π

6

≤x+

π

3

≤π，
由f（x）=sin(x+

π

3

)=

2

2

，
得x+

π

3

=

π

4

或

3π

4

，x=-

π

12

或

5π

12

．
当-π≤x＜-

π

6

时，由f（x）=-sinx=

2

2

，即sinx=-

2

2

，
得x=-

π

4

或-

3π

4

．
∴x=-

π

4

或-

3π

4

或-

π

12

或

5π

12

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数值的求法，是中档题．