Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c，试问当a，b分别满足什么条件时．
（1）函数f（x）没有极值；
（2）函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求出导数f′（x）=3x²+2ax+b，（1）函数f（x）没有极值等价为方程f′（x）=0无实根或有两个相等的实数根，（2）由于导数f′（x）为二次函数，故不存在实数a，b，使函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值等价为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根．

解答： 解：函数f（x）=x³+ax²+bx+c的导数f′（x）=3x²+2ax+b，
（1）函数f（x）没有极值等价为方程f′（x）=0无实根或有两个相等的实数根，
则判别式△=4a²-12b≤0，即a²≤3b；
（2）由于导数f′（x）为二次函数，故不存在实数a，b，使函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值等价为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
则判别式△=4a²-12b＞0，即即a²＞3b．

点评：本题考查函数的极值与导数的关系，函数在某点的导数为0，不一定是极值点，函数在某点有极值，在这点附近函数导数异号，属于基础题．