Question

设函数f（x）=ax+

x

lnx

（a＜0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最大值；
（Ⅱ）若存在x₁，x₂∈[

e

，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′(x)=a+

lnx-1

(lnx)2

≤0在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值．
（Ⅱ）命题“若存在x₁，x₂∈[

e

，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）-a成立”，等价于“当x∈[

e

，e2]时，有f（x）_min≤f′（x）_max-a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f′(x)=a+

lnx-1

(lnx)2

≤0在（1，+∞）上恒成立，
a≤

1

(lnx)2

-

1

lnx

=(

1

lnx

-

1

2

)2-

1

4

，
令g（x）=（

1

lnx

-

1

2

）²-

1

4

，
故当

1

lnx

=

1

2

，即x=e²时，
g（x）的最小值为-

1

4

，∴a≤-

1

4

，
∴a的最大值为-

1

4

．
（Ⅱ）命题“若存在x₁，x₂∈[

e

，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）-a成立”，
等价于“当x∈[

e

，e2]时，有f（x）_min≤f′（x）_max-a”，
由（Ⅰ）知，当x∈[

e

，e²]时，lnx∈[

1

2

，2]，

1

lnx

∈[

1

2

，2]，
f′(x)=a+

lnx-1

(lnx)2

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

+a，
f′（x）_max-a=

1

4

，
问题等价于：“当x∈[

e

，e2]时，有f（x）_min≤

1

4

”，
①当a≤-

1

4

时，由（Ⅰ），f（x）在[

e

，e²]上为减函数，
则f（x）_min=f（e²）=ae²+

e2

2

≤

1

4

，
∴a≤

1

4e2

-

1

2

-

1

4

，
∴a≤

1

4e2

-

1

2

．
②当-

1

4

＜a＜0时，∵x∈[

e

，e²]，∴lnx∈[

1

2

，2]，
∵f′(x)=a+

lnx-1

(lnx)2

，由复合函数的单调性知f′（x）在[

e

，e²]上为增函数，
∴存在唯一x₀∈（

e

，e2），使f′（x₀）=0且满足：
f(x)min=f(x0)=ax0+

x0

lnx0

，
要使f(x)min≤

1

4

，∴a≤

1

4x0

-

1

lnx0

＜

1

4

-

1

2

=-

1

4

，
与-

1

4

＜a＜0矛盾，
∴-

1

4

＜a＜0不合题意，
综上，实数a的取值范围为（-∞，

1

4e2

-

1

2

]．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．