Question

设两数列{a_n}、{b_n}分别满足a_n+1=a_n+2ⁿ，b_n+1=b_n+2（n∈N^*），且a₁=b₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a_n+1=a_n+2ⁿ，可得an+1-an=2n．利用“累加求和”即可得出．
由b_n+1=b_n+2（n∈N^*），b₁=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可知：a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹．利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（I）由a_n+1=a_n+2ⁿ，可得an+1-an=2n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=

2n-1

2-1

+1=2ⁿ．
当n=1时，上式也成立．
由b_n+1=b_n+2（n∈N^*），b₁=2．
∴b_n=b₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（II）由（I）可知：a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
2S_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
两式错位相减可得：-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

4(2n-1)

2-1

-n•2n+2=（1-n）•2ⁿ⁺²-4．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．