Question

已知函数f（x）=lnx+mx²（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再讨论m＜0，m≥0的情况，从而得出函数的单调区间；
（2）由题意得不等式解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

x

+2mx，
当m≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
当m＜0时，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

- 1 2m

，
令f（x）＜0，解得：x＞

- 1 2m

，
∴f（x）在（0，

- 1 2m

）递增，在（

- 1 2m

，+∞）递减，
综上，m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，
当m＜0时，f（x）在（0，

- 1 2m

）递增，在（

- 1 2m

，+∞）递减．
（2）由题意得只需

1

x

+2mx＞1即可，
整理得；2mx²-x+1＞0，
∴△=1-8m＜0，
∴m＞

1

8

．

点评：本题考察了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．