Question

已知函数f(x)=x2+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）若θ=

π

6

，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若f（x）在[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）θ=

π

6

时，f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，由此利用导数性质能求出函数的最值．
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，得-sinθ≤-

3

2

，由此能求出θ的取值范围．

解答： 解：（1）∵θ=

π

6

，函数f(x)=x2+2xsinθ-1，  x∈[-

3

2

，

1

2

]．
∴f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，
由f′（x）=0，得x=-

1

2

，
∵f（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

-1=-

5

4

f（-

3

2

）=

3

4

-

3

2

-1=-

3

2

-

1

4

，
f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

-1=-

1

4

，
∴x=

1

2

时，f（x）的最大值为-

1

4

，x=-

1

2

时，f（x）最小值为-

5

4

．
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，
所以-sinθ≤-

3

2

，
即sinθ≥

3

2

，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范围是[

π

3

，

2π

3

]．

点评：本题考查函数的最值的求法，考查角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和三角函数知识的合理运用．