Question

设函数f（x）=x³-x²-3，g（x）=

a

x

+xlnx，其中a∈R．
（1）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）-f（x₂）≥M，求整数M的最大值；
（2）若对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）f′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]，令f'（x）=0，得x1=0，x2=

2

3

，列表讨论能求出整数M的最大值．
（2）由（1）知，在[

1

2

，2]上，[f（x）]_max=f（2）=1，要满足对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[

1

2

，2]上恒成立，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）f′(x)=3x(x-

2

3

)，x∈[0，2]，令f'（x）=0得x1=0，x2=

2

3

，…（2分）
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下：

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
f'（x）		-	0	+
f（x）	-3	单调递减	极小值	单调递增	1

可得，[f（x）]_max=1，[f(x)]min=f(

2

3

)=-

85

27

．…（5分）
要使存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）-f（x₂）≥M，只需M≤[f(x)]max-[f(x)]min=

112

27

，故整数M的最大值为4．…（7分）
（2）由（1）知，在[

1

2

，2]上，[f（x）]_max=f（2）=1，要满足对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[

1

2

，2]上恒成立，…（9分）
即

a

x

+xlnx≥1在[

1

2

，2]上恒成立，分离参数可得：a≥x-x²lnx，
令h（x）=x-x²lnx，h'（x）=1-x-2xlnx，可知，当x∈[

1

2

，1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈（1，2]，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…（12分）
所以h（x）在x=1处取得最大值h（1）=1，
所以a的取值范围是a≥1．…（13分）

点评：本题主要考查最值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．