Question

已知函数f（x）=（ax²-2ax+2）e^x，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=2．
①求y=f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；
②若y=f（x）的图象在区间[-2，2]上与直线y=m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=（ax²-2a+2）e^x=a(x2-2+

2

a

)ex．通过对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a=1时，当a＞1时，利用导数即可得出函数的单调区间；
（2）当a=2时，f（x）=2（x²-2x+1）e^x．
（i）f′（x）=2（x²-1）e^x，f′（0）=-2，f（0）=2．即可得出y=f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；
（ii）令f′（x）=0，解得x=±1．列出表格，由表格即可得出函数的单调性极值与最值．进而得出m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=（ax²-2a+2）e^x=a(x2-2+

2

a

)ex．
当0＜a＜1时，

2

a

-2＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
当a=1时，f′（x）=（x+1）（x-1）e^x，当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在此区间上单调递减．
当1＜a时，2-

2

a

＞0，f′（x）=a(x+

2- 2 a

)(x-

2- 2 a

)ex，
令f′（x）＞0，解得x＞

2- 2 a

或x＜-

2- 2 a

，f（x）在(-∞，-

2- 2 a

)，(

2- 2 a

，+∞)上单调递增；
令f′（x）＜0，解得-

2- 2 a

＜x＜

2- 2 a

，f（x）在(-

2- 2 a

，

2- 2 a

)上单调递减．
（2）当a=2时，f（x）=2（x²-2x+1）e^x．
（i）f′（x）=2（x²-1）e^x，f′（0）=-2，f（0）=2．
∴y=f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程为y-2=-2x，即2x+y-2=0；
（ii）令f′（x）=0，解得x=±1．
列出表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=

8

e

；当x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=0．
又f（-2）=

18

e2

，f（2）=2e²．
∴

18

e2

≤m≤

8

e

时，y=f（x）的图象在区间[-2，2]上与直线y=m有三个不同的交点，
因此：实数m的取值范围是[

18

e2

，

8

e

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数图象的交点，考查了问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．