Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+Inx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最值；
（Ⅱ）当1＜x＜2时，求证（x+1）Inx＞2（x-1）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x），求f′（x），根据导数符号判断函数f（x）在[

1

2

，2]上的极值情况，再求端点值，即可得到函数f（x）的最值．
（Ⅱ）为便于求导数，因为x+1＞0，所以要证明原不等式成立，只要证明lnx＞

2(x-1)

x+1

即可．构造函数F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，求导数F′（x）判断函数F（x）在（1，2）上的单调性，经判断得到F（x）在（1，2）上单调递增，所以F（x）＞F（1）=0，这样即证出lnx＞

2(x-1)

x+1

，所以证出原不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

x

+lnx-1，f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

；
∴x∈[

1

2

，1)时，f′（x）＜0；x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
f（1）=0是函数f（x）的极小值，即f（x）的最小值；又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

；
∴f（x）的最大值是1-ln2；
∴函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值是0，最大值是1-ln2；
（Ⅱ）∵x+1＞0，∴要证明原不等式成立，只要证明lnx＞

2(x-1)

x+1

；
设F（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，则F′（x）=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0；
∴函数F（x）在（1，2）上是增函数，∴F（x）＞F（1）=0；
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

；
∴原不等式成立．

点评：考查极值的概念，求闭区间上函数最值的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性的定义，对于第二问对原不等式的变形，是证明本问的关键．