Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，-1），且在x=

3

2

处有极大值

1

8

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意的x∈R，不等式f（x）-tx²-t≤0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,二次函数的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先根据函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象关于y轴对称，求出b和d的值，再根据函数的图象经过点（0，-1）求出e，然后根据在x=

3

2

处有极大值

1

8

，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；
（2）根据对任意x∈R，不等式f（x）-tx²-t≤0恒成立，分离参数，进而利用基本不等式即可求得结果．

解答： 解：∵f（x）关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，
即f（x）=f（-x），
∴a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+ax²+dx+e
得b=d=0，
图象过A（0，-1）得e=-1，
∴f（x）=ax⁴+cx²-1
又f（x）在x=

3

2

处有极大值

1

8

，
∴f′(

3

2

)=0且f(

3

2

)=

1

8

，
解得a=-2，c=3，
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1；
（2）∵f（x）≤t（x²+1），
∴t≥

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2(x2+1)2+7(x2+1)-6

x2+1

=7-[2(x2+1)+

6

x2+1

]
∵7-[2(x2+1)+

6

x2+1

]≤7-4

3

，当且仅当2(x2+1)=

6

x2+1

即x2=

3

-1的取等号，
∴t的取值范围为[7-4

3

，+∞）．

点评：本题注意考查待定系数法求函数的解析式，以及分离参数的方法解决函数恒成立的问题，在解题时注意导数的几何意义的应用和基本不等式求最值应注意的问题，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．