Question

如图1，平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，对角线AC与BD交于点O，AO=4，CO=2．将△BCD沿BD向上折起得四面体ABC′D（如图2）．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）若AC′=2

5

，二角面B-AC′-D的余弦值为

11

21

，求BD的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用直线与平面垂直的判定定理直接证明：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）判断∠BED为二面角B-AC′-D的平面角，通过AC′=2

5

，二角面B-AC′-D的余弦值为

11

21

，直接求出BD的长．

解答： （Ⅰ）证明：在图中，因为AB=AD，BC=CD，所以在直线AC为线段BD的中垂线，所以，BD⊥AO，BD⊥CO，则在图2中有BD⊥AO，BD⊥C′O，而AO∩C′O=O，所以BD⊥平面AOC′．
（Ⅱ）解：由条件可知，AO=4，C′O=2，AC′=2

5

，即AC′²=AO²+C′O²，
所以AO⊥C′O，所以AO⊥C′O，
过O作OE⊥AC′，垂足为E，连结BE，DE，由（Ⅰ）可知BD⊥平面AOC′，
所以BE⊥AC′，DE⊥AC′，所以∠BED为二面角B-AC′-D的平面角，
在Rt△AOC′中，由条件可得OE=

4

5

，设BD=2a，则BO=DO=a，
所以BE=DE=

a2+( 4 5 )2

=

a2+ 16 5

，
在△BDE中，由余弦定理得BD²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠BED，
即：4a²=2（a²+

16

5

）-2（a²+

16

5

）•

11

21

，
解得a=1，所以BD=2．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的平面角的求法与应用，考查空间几何体的应用．