Question

已知圆心为P的动圆过点（2，0）且与直线l：x=-2相切．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线与点P的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，若AO，BO所在直线分别与直线y=x+4交于E，F，求|EF|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设点P（x，y），依据题意，点P（x，y）到直线x=-2和到点（2，0）的距离相等，由此能求出点P的轨迹．（Ⅱ）设过（1，0）的直线为m：x=ty+1，与y²=8x联立，得y²-8ty-8=0，设A（a，b），B（c，d），（a，b，c，d≠8），则b+d=8t，bd=-8，a=

1

8

b2，c=

1

8

d2，直线OA的斜率

b

a

=

8

b

，直线OA：y=

8

b

x，代入y=x+4，得（

8

b

-1）x=4，交点E的横坐标为：x_E=

4b

8-b

，同理交点F的横坐标x_F=

4d

8-d

，由此能求出|EF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（x，y），依据题意，点P（x，y）到直线x=-2和到点（2，0）的距离相等
所以：x-（-2）=

(x-2)2+(y-0)2

，x＞-2，
两边平方得：
x²+4x+4=x²-4x+4+y²，
所以y²=8x，
所以点P的轨迹为抛物线y²=8x．
（Ⅱ）设过（1，0）的直线为m：x=ty+1，与y²=8x联立，
消去x，得：y²=8ty+8，即y²-8ty-8=0，
设A（a，b），B（c，d），（a，b，c，d≠8），
则b+d=8t，bd=-8，a=

1

8

b2，c=

1

8

d2，直线OA的斜率

b

a

=

8

b

，
直线OA：y=

8

b

x，代入y=x+4，得（

8

b

-1）x=4，
交点E的横坐标为：x_E=

4b

8-b

，同理交点F的横坐标x_F=

4d

8-d

，
∴|x_E-x_F|=|

4b

8-b

-

4d

8-d

|
=4|

8(b-d)

64-8(b+d)+bd

|
=4•

8 (b-d)2

|64-8•8t-8|

=4•

(b+d)2-4bd

|7-8t|

=4•

64t2+32 (7-8t)2

，（7-8t=

1

s

，t=

7

8

-

1

8s

）
=4•

s2[64( 7 8 - 1 8s )2+32]

=4•

81s2-14s+1

=4•

81s2-14s+1

=4•

81(s- 7 81 )2+ 32 81

≥

16 2

9

，
|x_E-x_F|_min=

2

•|xE-xF|min=

32

9

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查线段长最小值的求法，解题时要认真审题，注意两点距离公式的合理运用．