Question

设函数f（x）=（a+x）²-2ln（1+x），且f（x）在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值
（2）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=2(a+x)-

2

1+x

，f′（0）=2a-2=0，由此能求出a=1．
（2）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]时，m≥f（x）_min，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（-1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1．

解答： 解：（1）∵f（x）=（a+x）²-2ln（1+x），
∴f′(x)=2(a+x)-

2

1+x

，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f′（0）=2a-2=0，解得a=1．
（2）由（1）得f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，
只需x∈[0，1]时，m≥f（x）_min．
求导得f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

，定义域为（-1，+∞），
∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（0）=1，
∴m≥1．故实数m的最小值为1

点评：本题考查实数值的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．