Question

已知函数y=f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，求f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(2x-a)(3x-a)，由f′(x)=0得x=

a

2

，x=

a

3

，由此列表讨论能求出f（x）的极大值和极小值．

解答： 解：∵y=f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，
∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(2x-a)(3x-a)，由f′(x)=0得x=

a

2

，x=

a

3

，
①当a＞0时，

a

3

＜

a

2

，见下表

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ， a 2 )	a 2	( a 2 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

∴当x=

a

3

时，函数取得极大值，f(

a

3

)=

a3

27

，
 当x=

a

2

时，函数取得极小值，f(

a

2

)=0．
②当a＜0时，

a

2

＜

a

3

，见下表

x	(-∞， a 2 )	a 2	( a 2 ， a 3 )	a 3	( a 3 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

当x=

a

2

时，函数取得极大值，f(

a

2

)=0，
当x=

a

3

时，函数取得极小值，f(

a

3

)=

a3

27

．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．