Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求f（x）的解析式（含字母c）；
（2）求函数的极大值与极小值的差．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|_x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式； 
（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．

解答： 解：（1）∵函数y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，．
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．