Question

已知函数f（x）=

1

x+1

．
（Ⅰ）设g（x）=f（x）•1nx，判断函数g（x）在（0，+∞）上是否存在极大值，并说明理由．
（Ⅱ）如图，曲线y=f（x）在点Q（0，1）处的切线与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交曲线于点Q₁；曲线在点Q₁处的切线与x轴交于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交曲线于点Q₂；依次重复上述过程得到点列：P₁，P₂，P₃，…，P_n（n∈N^*），设点P_n的坐标为（a_n，0），求数列{a_n}的通项公式，并证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

3

2

-

1

2n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（I）g（x）=f（x）•1nx=

lnx

x+1

（x＞0），g′（x）=

1

(x+1)2

(

x+1

x

-lnx)．设h（x）=

x+1

x

-lnx=1+

1

x

-lnx．利用导数判定h（x）在区间（e，e²）内存在唯一零点，即可得到函数g（x）在（0，+∞）上存在极大值．
（II）由f′（x）=-

1

(x+1)2

，则f′（0）=-1，可得切线QP₁的方程为：y=-x+1．由已知可得Q_n-1(an-1，

1

an-1+1

)，则切线Q_n-1P_n的方程为y-

1

an-1+1

=-

1

(an-1+1)2

(x-an-1)．可得a_n=2a_n-1+1（n≥2）．
a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），则数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．可得an=2n-1．于是

n

i=1

1

ai

=1+

1

22-1

+…+

1

2n-1

≥1+

1

22

+…+

1

2n

，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）g（x）=f（x）•1nx=

lnx

x+1

（x＞0），g′（x）=

1

(x+1)2

(

x+1

x

-lnx)．
设h（x）=

x+1

x

-lnx=1+

1

x

-lnx．
h′(x)=-

1

x2

-

1

x

=-

1+x

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵h（e）=

1

e

＞0，h（e²）=

1

e2

-1＜0，
∴h（x）在区间（e，e²）内存在唯一零点，即存在x0∈(e，e2)，使得h（x₀）=0．
∴当0＜x＜x₀时，h（x）＞0，从而g′（x）＞0；当x＞x₀s时，h（x）＜0，从而g′（x）＜0．
∴g（x）在区间（0，x₀）上是增函数，在区间（x₀，+∞）上是减函数，
∴x₀为函数g（x）的极大值点．故函数g（x）在（0，+∞）上存在极大值．
（II）∵f′（x）=-

1

(x+1)2

，则f′（0）=-1，
∴切线QP₁的方程为：y=-x+1．令y=0，则x=1．
∴a₁=1．由已知可得Q_n-1(an-1，

1

an-1+1

)，则切线Q_n-1P_n的方程为y-

1

an-1+1

=-

1

(an-1+1)2

(x-an-1)．
令y=0，则x=2a_n-1+1，∴a_n=2a_n-1+1（n≥2）．
∵a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），则数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2n，即an=2n-1．
因此

n

i=1

1

ai

=1+

1

22-1

+…+

1

2n-1

≥1+

1

22

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．