Question

工厂的设备使用一段时间后，需要更新，但若更新过早，老设备的生产潜力未得以完全发挥就抛弃，易造成损失；若更新过晚，老设备生产效率低下，维修费用昂贵，也会造成损失，现有一台价值4000元的设备，第一年的维修、燃料及动力消耗费用为320元，以后每一年比上一年增加320元，要使工厂为这台设备支付的年平均费用最小，这台设备应在使用多少年后更新？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的平均费用为

4000+ 320x(x+1) 2

x

=

4000

x

+160x+160，利用基本不等式求得它的最小值，以及此时x的值．

解答： 解：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的总费用为4000+320（1+2+3+…+x）=4000+

320x(x+1)

2

平均费用为

4000+ 320x(x+1) 2

x

=

4000

x

+160x+160≥800+160=960，
当且仅当

4000

x

=160x，即 x=5时，取等号．
故使用5年更新，每年的平均费用最低．

点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．