Question

欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,直线与圆

分析：作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=

S

h

+

h(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），令u=

2-cosα

sinα

，求出u取最小值时α的大小，可得结论．

解答： 解：作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=

h

sinα

，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα，AB+CD=

2S

h

，
故CD=

S

h

-hcotα．
设y=AD+DC+BC，
则y=

S

h

-hcotα+

2h

sinα

=

S

h

+

h(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），
由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=

2-cosα

sinα

取最小值，
u可看作（0，2）与（-sinα，cosα）两点连线的斜率，
由于α∈（0°，90°），
点（-sinα，cosα）在曲线x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，

当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，
此时切点为（-

3

2

，

1

2

），
则有sinα=

3

2

，且cosα=

1

2

，
那么α=60°，
故当α=60°时，修建成本最低．

点评：本题考查的知识点是函数的最值，直线与圆的位置关系，其中求出水与渠壁的接触面y的解析式，将实际问题转化为函数问题，是解答的关键．