Question

已知函数f（x）=x²+blnx和g（x）=

x-9

x-3

的图象在x=4处的切线互相平行．
（Ⅰ）求b的值； 
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义分别求出函数f（x）与g（x）在x=4处的导数，根据函数f（x）和g（x）的图象在x=4处的切线互相平行，建立等量关系，求出b即可；
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．

解答： 解：（Ⅰ）g'（x）=

6

(x-3)2

∴g'（4）=6
∵函数f（x）=x²+blnx和g（x）=

x-9

x-3

的图象在x=4处的切线互相平行
∴f'（4）=6
而f'（x）=2x+

b

x

，则f'（4）=8+

b

4

=6
∴b=-8…（5分）
（Ⅱ）显然f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=

2x2-8

x

令f'（x）=0，解得x=2或x=-2（舍去）
∴当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0
∴f（x）在（0，2）上是单调递减函数，在（2，+∞）上是单调递增函数
∴f（x）在x=2时取得极小值且极小值为f（2）=4-8ln2．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．