Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+c=1+

3

，b=1，sinC=

3

sinA．
（1）求角B
（2）设f（x）=2sin（2x+B）+4cos²x，求函数f（x）在区间[

π

2

，π]的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由正弦定理得

sinC

sinA

=

c

a

=

3

，结合a+c=1+

3

，求出a、c；再由余弦定理求出cosB，得出B；
（2）用三角函数恒等式化简f（x），当x∈[

π

2

，π]时，求出f（x）的值域．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵sinC=

3

sinA，
∴

sinC

sinA

=

c

a

=

3

，即c=

3

a；
又∵a+c=1+

3

，
∴a=1，c=

3

；
又b=1，∴cosB=

12+( 3 )2-12

2×1× 3

=

3

2

，
∴B=

π

6

；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4cos²x
=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

+4×

1+cos2x

2

=

3

sin2x+3cos2x+2
=2

3

sin（2x+

π

3

）+2；
当x∈[

π

2

，π]时，2x+

π

3

∈[

4π

3

，

7π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
∴-2

3

≤2

3

sin（2x+

π

3

）≤3；
即f（x）的值域是[-2

3

，3]．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质以及正弦、余弦定理的灵活运用问题，是综合性题目