Question

受金融危机的影响，某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，以提高旅游增加值．经过市场调查发现，旅游增加值y（万元）与投入成本x（万元）之间满足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，

x

2x-12

∈[t，+∞），其中t为大于

1

2

的常数，且当投入成本为10万元时，旅游增加值为9.2万元．
（1）求a的值和投入成本x的取值范围；
（2）当投入成本为多少万元时，旅游增加值y取得最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由于当x=10万元时，y=9.2万元，求得a的值得f（x）的解析式．根据

x

2x-12

∈[t，+∞），其中t为大于

1

2

的常数，可得6＜x≤

12t

2t-1

，即为所求投入x的取值范围．
（2）利用导数可得可得f（x）在（1，50]上是增函数，在（50，+∞）上是减函数．再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①当

12t

2t-1

≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，②若

12t

2t-1

＜50，则当x=

12t

2t-1

时，函数f（x）取得
最大值，综合可得结论．

解答： 解：（1）因为y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，
当x=10时，y=9.2，解得a=

1

100

．
所以f（x）=

51

50

x-

1

100

x²-ln

x

10

．
因为

x

2x-12

∈[t，+∞），所以6＜x≤

12t

2t-1

，
即投入x的取值范围是（6，

12t

2t-1

]．
（2）由题意，令f′（x）=0，可得x=1，或x=50．…（8分）
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上连续，因此f（x）在（1，50]上是增函数；
当x∈（50，+∞））时，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上连续，
因此f（x）在（50，+∞）上是减函数．
再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①可得当

12t

2t-1

≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，即投入50万元改造时旅游取得最大增加值．
②若

12t

2t-1

＜50，则当x=

12t

2t-1

时，函数f（x）取得最大值．
即投入

12t

2t-1

万元改造时旅游取得最大增加值．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查旅游增加值y取得最大值时对应的x值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．