Question

已知函数f（x）=x²-alnx．
（1）若a=2e，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2e时，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．
分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调性极值．
（2）f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

．对a分类讨论：（i）当a≤0时，即可得出（ii）当a＞0时，利用导数研究其单调性可得：函数f（x）在x=

2a

2

处取得极小值即最小值．要使f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，则必须最小值f(

2a

2

)＜0．解得a＞2e．从而

2a

2

＞

e

＞1，还必须满足：

f(e)=e2-alne＞0 2a 2 ＜e

，解得即可．

解答： 解：（1）当a=2e时，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．
f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．
当x∈(0，

e

)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈(

e

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=

e

时，函数f（x）取得极小值，f(

e

)=e-2e×

1

2

=0．无极大值．
（2）f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

．
（i）当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）在（0，e）上不可能有两个不同的零点；
（ii）当a＞0时，f′(x)=

2(x+ 2a 2 )(x- 2a 2 )

x

，
由f′（x）=0，解得x=

2a

2

．
由x∈(0，

2a

2

)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；由x∈(

2a

2

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．则函数f（x）在x=

2a

2

处取得极小值即最小值，f(

2a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
要使f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，则必须最小值f(

2a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

＜0．
解得a＞2e．从而

2a

2

＞

e

＞1，
还必须满足：

f(e)=e2-alne＞0 2a 2 ＜e

，解得2e＜a＜e²．
综上可得：实数a的取值范围是（2e，e²）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的零点，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．