Question

已知函数f（x）=

1

x

+lnx，g（x）=tx-

t-1+2e

x

-1nx（t≥0）
（1）当t=0时，求函数g（x）的单调区间；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得g（x₀）＞f（x₀），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）t=0时，得到函数的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间，
（2）由?x₀∈[1，e]，g（x₀）＞f（x₀），令h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，e]，只需h（x）在[1，e]上的最大值大于0即可，通过求导得出h（x）在[1，e]上递增，进而最大值h（e）=te-

t+2e

e

-2，令h（e）＞0，解出t的范围即可．

解答： 解：（1）t=0时，g（x）=

1-2e

x

-lnx，
∴g′（x）=

2e-1-x

x2

，（x＞0），
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2e-1，
令g′（x）＜0，解得：x＞2e-1，
∴g（x）在（0，2e-1）递增，在（2e-1，+∞）递减，
（2）∵?x₀∈[1，e]，g（x₀）＞f（x₀），
即?x₀∈[1，e]，g（x₀）-f（x₀）＞0，
令h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，e]，
∴只需h（x）在[1，e]上的最大值大于0即可，
h（x）=tx-

t+2e

x

-2lnx，（x∈[1，e]），
∴h′（x）=

tx2+t+2e-2x

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2x∈[2，2e]，∴2e-2x≥0，而tx²+t≥0，
∴h′（x）≥0在[1，e]上恒成立，且仅有有限个点处h′（x）=0，
∴h（x）在[1，e]上递增，
∴当x=e时h（x）取到最大值h（e）=te-

t+2e

e

-2，
令h（e）＞0，解得：t＞

4e

e2-1

，
∴t的范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道综合题．