Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的极值点．
（1）求实数a的值；  
（2）求f（x）在x∈[1，5]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²-2ax+3． 由于x=3是f（x）的极值点，可得f′（3）=0，解出a并验证即可得出．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=

1

3

（舍去）．列出表格即可得出极值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3． 
∵x=3是f（x）的极值点，∴f′（3）=27-6a+3=0，
解得a=5，
经过验证：a=5满足x=3是f（x）的极值点．
∴a=5．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．
令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=

1

3

（舍去）
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	0	+	0	-	0
f（x）	-1	↗	-9	↘	15

因此，当x=3时，f（x）在区间[1，5]上有最小值为f（3）=-9；
当x=5时，f（x）在区间[1，5]上有最大值是f（5）=15．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．