Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性；
（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，构造函数g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g（x）_min即为所求的b的值；
（3）e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即证

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，令g（x）=

ex

ln(x+1)

，则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增．

解答： （1）解：f′(x)=2-

1

x

=

2x-1

x

，
f′（x）＜0得0＜x＜

1

2

，f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴f（x）在(0，

1

2

)上递减，在(

1

2

，+∞)上递增．
（2）解：∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，则g′（x）=-

1

x2

（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，
∴g（x）_min=g（e²）=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．
（3）证明：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即证

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
令g（x）=

ex

ln(x+1)

，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
又∵g′（x）=

ex[ln(x+1)- 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
显然函数h（x）=ln（x+1）-

1

x+1

在（e-1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞1-

1

e

＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴当x＞y＞e-1时，有e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于属于中档题．