Question

已知

a

、

b

、

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，-2）．
（Ⅰ）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（Ⅱ）若|

b

|=1，且

a

+

b

与

a

-2

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ的余弦值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）设

c

=（k，-2k），k为实数，再根据|

c

|=

k2+(-2k)2

=2

5

，求得k的值，从而求得

c

 的坐标．
（Ⅱ）由（

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0，以及|

a

|=

5

，|

b

|=1，可得

a

•

b

=3，从而求得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

 的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（1，-2），且

c

∥

a

，∴可设

c

=（k，-2k），k为实数．
再根据|

c

|=

k2+(-2k)2

=2

5

，可得k=±2，∴

c

=（-2，4）或

c

=（2，-4）．
（Ⅱ）∵

a

+

b

与

a

-2

b

垂直，∴（

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=

a

2-

a

•

b

-2

b

2=0．
再根据|

a

|=

5

，|

b

|=1，可得

a

•

b

=3，∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

3

5 ×1

=

3 5

5

，
故要求的

a

与

b

的夹角θ的余弦值为

3 5

5

．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．