Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1（x≥0，a＞0）．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=2a-2=0，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=2a-2=0，
∴a=1；
（2）∵f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

（a＞0，x≥0），
若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若0＜a＜2令f′(x)=0得x=

2-a a

或-

2-a a

（舍去），
∴函数f（x）在(0，

2-a a

)上单调递减，在(

2-a a ，+∞)

上单调递增．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，属于中档题．