Question

已知向量

a

=（sinx，

3

-

3

cos2x），

b

=（2cosx，1），定义f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）为偶函数，求θ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积先求出f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求出函数的单调区间，
（2）先求出f（x+θ）的解析式，再根据偶函数的性质求出x的值，再根据函数的极值求得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=（sinx，

3

-

3

cos2x）•（2cosx，1）
=2sinxcosx+

3

-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x+

3

，
=2sin（2x-

π

3

）+

3

，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

 （k∈Z），
得kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，
所以所求单调递减区间为（kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

），（k∈Z），
（2）∵y=f（x+θ）=2sin（2x+2θ-

π

3

）+

3

为偶函数，
∴2θ-

π

3

=kπ+

π

2

 （k∈Z），
即θ=

kπ

2

+

5π

12

，
又0＜θ＜

π

2

，
所以θ=

5π

12

．

点评：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题．