Question

已知函数f（x）=

lnx

x

+

lna

x+5

在x=1处取到极值．
（1）求a的值，并求出f（x）的极值；
（2）若x≥1时，不等式（x+1）f（x）≥5x+k+5恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，求出a，f（1），验证为极大值；
（2）x≥1时，f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值6．若x≥1时，不等式（x+1）f（x）≥5x+k+5恒成立，等价为若x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

+5恒成立，只需在x=1处f（x）的最大值不大于

k

x+1

+5在x=1处的最小值即可（k＞0）..

解答： 解：（1）函数f（x）=

lnx

x

+

lna

x+5

的导数f′（x）=

1-lnx

x2

-

lna

(x+5)2

，
由f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，
即1-

lna

36

=0，lna=36，a=e³⁶，
且f（1）=0+

36

6

=6．
又令f′（x）=0，则由于x＞0，则

1-lnx

-

6

1+ 5 x

=0，
令h（x）=

1-lnx

-

6

1+ 5 x

，则h（x）在（0，e）上单调递减，且h（1）=0，
故只有一个极值，f′（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，
故为极大值6．
（2）若x≥1时，不等式（x+1）f（x）≤5x+k+5恒成立，
等价为若x≥1时，不等式f（x）≤

k

x+1

+5恒成立，
由（1）得，f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值6．
则只需在x=1处f（x）的最大值不大于

k

x+1

+5在x=1处的最小值即可（k＞0）．．
故6≤5+

k

2

，即k≥2．
故实数k的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间、求极值和求最值，同时考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，属于中档题．